알고리즘 | 백트래킹 | Java 백준[Silver II] 외판원 순회 2 - 10971

[Silver II] 외판원 순회 2 - 10971

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성능 요약

메모리: 12984 KB, 시간: 100 ms

분류

백트래킹, 브루트포스 알고리즘, 외판원 순회 문제

제출 일자

2024년 9월 29일 16:28:03

문제 설명

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

풀이

이 문제는 DFS(깊이 우선 탐색)와 백트래킹을 활용하여 해결할 수 있습니다. 문제의 핵심은 모든 도시를 방문한 후 다시 출발지로 돌아오는 경로 중 최소 비용을 찾는 것입니다.

DFS 접근법

1. 문제 개요

• 도시는 N개이고, 비용 행렬 W[i][j]가 주어집니다. 이는 도시 i에서 도시 j로 가는 비용을 의미합니다.
• 모든 도시는 한 번씩만 방문할 수 있으며, 출발지로 돌아가는 경로를 포함해 가장 적은 비용을 찾는 것이 목표입니다.

2. DFS 및 백트래킹 구현

• DFS로 모든 도시를 방문하며 비용을 계산하고, 백트래킹을 통해 다시 되돌아가 다른 경로를 탐색합니다.
• visited[] 배열을 사용하여 방문한 도시는 다시 방문하지 않도록 설정합니다.

3. 알고리즘 흐름

• DFS로 한 도시에서 다른 도시로 이동하며, 모든 도시를 방문한 후 출발지로 돌아가는 경로를 탐색합니다.
• 이동할 때마다 현재까지의 비용이 최소 비용을 초과하면 더 이상 탐색을 진행하지 않고 종료합니다.

DFS 구현 흐름

1. 기본적인 도시 방문 및 비용 체크

• DFS로 첫 번째 도시부터 시작하여, 방문하지 않은 도시로 이동합니다.
• 이동할 때마다 방문 도시 수를 증가시키며, 방문하지 않은 도시가 없으면 출발 도시로 돌아가 최소 비용을 갱신합니다.

2. 백트래킹을 통한 탐색

• DFS를 통해 가능한 모든 경로를 탐색하며, 경로가 끝날 때마다 방문 상태를 되돌려 다른 경로를 탐색합니다.

코드 설명

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N;  // 도시의 수
    static int[][] W;  // 비용 행렬
    static boolean[] visited;  // 방문 여부 배열
    static int minCost = Integer.MAX_VALUE;  // 최소 비용 저장 변수

    // DFS 메서드
    static void DFS(int currentCity, int visitedCityCount, int currentCost, int start) {
        // 현재 비용이 최소 비용보다 크면 더 이상 탐색하지 않음
        if (minCost < currentCost) {
            return;
        }

        // 모든 도시를 방문한 경우, 출발 도시로 돌아가는 비용을 추가
        if (visitedCityCount == N) {
            if (W[currentCity][start] != 0) {  // 출발지로 돌아갈 수 있는 경로가 있는 경우
                minCost = Math.min(minCost, currentCost + W[currentCity][start]);
            }
            return;
        }

        // 다음 방문할 도시 탐색
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (!visited[i] && W[currentCity][i] != 0) {  // 방문하지 않았고 경로가 존재할 때
                visited[i] = true;
                DFS(i, visitedCityCount + 1, currentCost + W[currentCity][i], start);  // 다음 도시로 이동
                visited[i] = false;  // 백트래킹
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        N = sc.nextInt();  // 도시 수 입력
        W = new int[N][N];  // 비용 행렬 초기화
        visited = new boolean[N];  // 방문 여부 배열 초기화

        // 비용 행렬 입력
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                W[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }

        // 첫 번째 도시에서 시작하여 DFS 탐색
        visited[0] = true;
        DFS(0, 1, 0, 0);  // (현재 도시, 방문한 도시 수, 현재까지의 비용, 시작 도시)

        // 결과 출력
        System.out.println(minCost);
    }
}

최종 흐름

1. 입력 처리 및 초기화

• 도시의 수 N과 비용 행렬 W를 입력받고, 방문 여부를 확인할 visited 배열을 초기화합니다.

2. DFS 탐색

• 첫 번째 도시에서 출발해 DFS로 모든 경로를 탐색하고, 가능한 경로 중 최소 비용을 갱신합니다.

3. 결과 출력

• 최소 비용을 출력합니다.

[공부한 내용 중 고민했던 점]

비용을 비교하는 과정에서, 이미 최소 비용을 넘은 경로는 더 이상 탐색하지 않도록 설정하여 효율성을 높였습니다. 이를 통해 불필요한 경로를 탐색하지 않고 빠르게 결과를 도출할 수 있었습니다.